姜伯驹：把数学从书斋推向大众

姜伯驹在给学生上课

姜伯驹在玩十二面体魔方

与父母在一起

与江泽涵先生在一起

与妻子看望陈省身先生

姜伯驹，国际知名拓扑学家、中科院院士、北京大学教授，怀着让数学服务于民族振兴与国计民生的理想，站立讲台50余载，直到70岁还坚持查阅学生作业；着眼于数学学科对国家建设的贡献，倡导高校数学专业的转型；关心中小学数学教育，年逾花甲仍带头谏言中国数学基础教育；重视数学的推广与普及，亲自动手写科普著作，时常出现在科普讲台上……

2010年9月9日，被评为“全国教书育人楷模”的姜伯驹受到胡锦涛总书记的接见。总书记与先生握手时说，我知道你，你关注数学走向社会和公众。

“如果某项数学研究仅仅是解答了一道难题，价值就打折了”。在姜伯驹的数学世界里，课题的光彩不取决于有多难、多久远，而在于研究过程中产生了多少可以被他人借鉴、应用的新思想、新方法。

姜伯驹今年73岁，头上银丝整齐，戴厚镜片眼镜，着白衬衫，手腕上戴着一块旧电子表。采访中，谈及其他话题，他语调平和而缓慢，谈及此，语速略快。

“数学是科学与技术整体的一部分，是基础也是锋刃。数学不能孤芳自赏，要走进各行各业。”

“数学最讲道理，对就是对，错就是错，教人明辨是非，也教人以简驭繁，这是科学精神，这是理性的力量，数学之美应走近每个人的生活。”姜伯驹说。

感受数学世界里的成与败

姜伯驹研究的领域是拓扑学，基础数学中的基础。

“拓扑研究的是图形间本质的差别。比如，一个气球不论吹成瓶子的形状还是圆球的形状，在拓扑学来看，本质上都是一样的，但是一个圆球和一个轮胎，本质就不一样了。”

“拓扑在生活中的应用无处不在。比如，电路布线或者通讯网络，要紧的是如何连接而不在于连线的长短曲直，所以有网络拓扑这个名词。”

姜伯驹试图解释自己研究的拓扑学与生活的关系，眼里闪着光。

这份徜徉于数学世界、科学王国的迷醉，他说不清是从何时开始有的，似乎一直流淌于他的血液中。

姜伯驹出生于数学世家，父亲姜立夫是中国近代数学的开拓者之一，他创办了南开大学数学系，著名数学家陈省身与江泽涵都曾是他的学生。

在父亲的影响下，他渐渐产生了从事科学研究的志向。1953年，还不到16岁的姜伯驹考入北京大学数学力学系，从此，一头扎进数学的世界。

在北大的日子里，一次成功与一次“失败”的经历，让他对数学有了特殊的感受。

一年级第一学期结束前，姜伯驹产生了一个疑问——“一个可以积分的函数虽然不见得连续，是不是至少在有些点上要连续？”这个问题对高年级的数学系学生来说是常识，但对于他来说是个不小的困惑，痛苦而执著地思考了整整一星期，当他找到答案并且得出证明的那一刹，成功的兴奋与激动战胜了所有的劳累与辛苦。那种追求真理、接近真理的幸福感与陶醉感，让姜伯驹觉得数学的天地向他发出耀眼的光芒。

三年级的一次“失败”则令他更丰富地感受了数学研究者将要面对的世界。那年，学校指派教师指导学有余力的学生做学年论文。指导姜伯驹的是江泽涵，江泽涵给他看了一篇刚发表于一本匈牙利期刊的数学论文。姜伯驹看后发现文章的论证其实是有漏洞的。老师起初不相信，后来认可并鼓励他重新论证或推翻其结论，遗憾的是，姜伯驹未能做到。那次经历不仅让姜伯驹增强了挑战权威的勇气，几个月未能找到正确结论的挫折感也使他认识到数学研究往往会留有遗憾。

伴随着对数学世界的理解逐渐丰富，姜伯驹对数学研究的兴趣愈发浓厚。本科毕业后，他留在北大任教，迎来了学术生涯中的重要时刻。

作为江泽涵先生的助手，姜伯驹跟随江先生研究拓扑学中的不动点问题。在江泽涵的引导以及姜伯驹对自己的不断追问中，1962年，25岁的姜伯驹便运用后来被通称为“姜群”的概念，打破了这一理论停滞多年的局面。成果1964年发表，立即引起国际同行的瞩目。

第二个重要时刻是在“文革”之后。1978年，他成为改革开放后首批52名赴美访问学者中的一员。到了美国，他如饥似渴地学习新兴的低维拓扑学，并尝试将其与不动点理论结合起来，在1981年回国后的几年全面解决了已经有50年之久的“尼尔森不动点猜想”。他在美期间开设的研究生课程，后来整理成专著《尼尔森不动点理论讲座》，1983年被美国数学会收入丛书出版，这本书代表了当时不动点理论研究的水平。

然而，就像他当年感悟到的一样，虽然取得了骄人成果，但艰辛、苦涩与遗憾时常相伴。“作研究的，成功很快过去，面对失败是常态。”“我写本科毕业论文时研究的课题，只做出了其中非常特殊的一种情况。那个问题至今没人能最终解答。”

“数学研究无法给出一个准确的完成时间，因为你在探索未知的世界，甚至不知道自己预想的目标到底是有解还是没有解。”姜伯驹说，“我们经常碰钉子。”正因如此，他也锤炼出了对待“钉子”的淡然心态。

“要拿得起，放得下，现在做不出就等待合适的时机再做。我不去想做成了如何，做不成又如何，我只是凭着兴趣去做。做成了当然高兴，同行的评价是最好的鼓励，荣誉只是偶然的副产品。”

在数学世界里纯净久了，姜伯驹也养成了淡然的人生态度。

“我不去刻意争取什么，既来之则安之。我也从不刻意争辩什么，因为在数学中，是与非，其实很清楚。”

即便谈论起人生中的黄金十年在“文革”与下放中远离数学，他也只是与坐在身边的妻子打趣道：“要不是在干校时曾在厨房里劳动，我也不会比你先会做饭。”夫妻二人默契地对视一笑。

教书，我保证能对国家有贡献

“我首先是一名教师，其次才搞一些研究。”姜伯驹常常把这句话挂在嘴边。

其实，在北大即将毕业的那一年，姜伯驹面临着两个选择：到专门的科研机构或者留在北大任教。姜伯驹觉得，如果专职作研究，不能保证一定能作出出色的成果，会觉得对不起国家。而做一名教师，培养出一批批人才，比自己作出一两项成果更有价值，这样保证能对国家有贡献。于是，他选择留在北大。

北大学生有福气了。“姜老师的课堪称完美。”“如果想听最好的《同调论》，那就得去北大听姜老师的课。”

北大数学科学学院教授尤承业在做学生时，曾听过姜伯驹对一个定理的证明。令他惊讶的是，通常要花两星期才能讲完的课，姜老师仅用一次课就讲完了，而且思路特别清晰。“关键是你的体会有多深，找到关键点，抓住问题的本质，那样，学生很快就明白了。”姜伯驹的诀窍在于对数学问题的“一针见血”。

更让北大学生感觉幸福的是，迈进姜老师的课堂，竟然很容易，本科生、硕士生、博士生都可以选他的课。“当你看到满头白发、笑容满面的老院长站在讲台上一眼教案都不看，逻辑清晰，神采飞扬，你会觉得北大真美好，数学真美好！”北京大学数学科学学院05级研究生王玉昭说。

学生们还给姜老师讲课总结出三个特点，其一是有学者风范，其二是平易近人，其三是教学方法由浅入深。精益求精、高屋建瓴、表述清晰、融会贯通、因材施教，都是学生口中津津乐道的姜老师的课堂魅力。

教课时姜伯驹还有一项雷打不动的坚持，那就是亲自查阅学生的作业，这种习惯，他坚持了50年。“习题促使学生思考，也能发现学生的弱项，帮我调整改进教学内容。”这是姜伯驹心中的算盘。

身为教师，除了在课堂上、作业上下足功夫，姜伯驹还有着更为“深沉”的教学理解——“直接告诉学生答案，是最简单的，但那样做不是好老师。”姜伯驹的为师逻辑是，“向着正确的方向向学生提问，或者为他们搭建一下台阶，让学生自己爬上去”。

这样的理念，来自姜伯驹年轻时代的老师们对他的引导。1962年，江泽涵先生引导姜伯驹作不动点问题研究，姜伯驹每次给江泽涵先生看自己的论证，江先生总是说看不懂，希望他论证得更透彻一些。江先生还不断追问，为什么他能够做出来，比前人高明在哪里，引导他寻找最核心、最本质的关键点。

这样的引导，不仅使姜伯驹取得了具体的成果，也让他对数学研究有了更深刻的理解——数学研究就是寻找最为重要的思想和方法的过程，并以此种理解引导着自己的学生，鼓励学生另辟蹊径、自主创新。

著名拓扑学专家、中科院数学教授段海豹是姜伯驹的第一届博士生。他回忆道，姜老师总是给他宽松的研究环境，当他遇到难题时姜老师从不轻易直接解答，而是引导他进行更本质的思考，这对他日后的研究工作产生了根本性的影响。

20世纪80年代以来,姜伯驹已培养了数十名硕士生和博士生，造就了国内拓扑学领域生气勃勃、后继有人的局面。他的学生王诗宬、段海豹、周青等在教学和科研领域均卓有成就。其中，王诗宬于2005年当选为中科院院士，段海豹则成为高维拓扑领域的专家，近期的研究成果《舒伯特簇的乘法法则》刚刚通过了2010年国家自然科学二等奖评审。

姜伯驹自己也淡然地迎来了外界赋予他的诸多荣誉：中国科学院院士、第三世界科学院院士，获得过国家自然科学奖、陈省身数学奖、华罗庚数学奖、全国五一劳动奖章、全国模范教师称号……

数学不能孤芳自赏

走在北大校园，可能很多学生都不会认出这位和蔼的白发老人。姜伯驹说，他不是什么“时髦”、“知名”人士，他很平凡。

然而，听到“数学在很多人看来也不时髦”的话题，姜伯驹把头摇了又摇。

“那是因为公众对数学不了解，甚至有误解。”姜伯驹说。

上世纪70年代，报告文学《哥德巴赫猜想》问世，徐迟笔下陈景润“摘取数学皇冠上的明珠”形象，一时成为数学家的缩影以及年轻人的偶像。

姜伯驹说，这虽然在几年时间内吸引不少学生选择了数学专业，但也使更多的人认为数学只关注历史，脱离现实。事实完全不是这样。

“数学有两方面的作用，一方面是数学内部在不断提出新问题发现新现象发展新方法，也在解决前人未能解决的问题，另一方面是数学与其他科学技术领域的互动，解决经济、社会、国防等建设领域发展的现实需求。”姜伯驹说。而解决前人的问题，在他看来，其价值不仅在于其答案本身，而是其解决过程中产生的有普遍意义，可以被广泛应用的新思想和新方法。

“数学的研究不是为了历史，而是为了现在和未来。”姜伯驹坚定地认为，数学的现实意义，一个很重要的体现，就是在各行各业发挥作用，服务于国计民生。

“国际上很多附加值很高的新发明、新技术，在研发过程中往往是靠数学突破了关键环节。”姜伯驹说。

在开发高清电视的竞争中，美国的基于信息压缩数学原理的数字式系统淘汰了日本的以硬件开发为主的模拟式系统。

数学处理方法的创新，使生物学中里程碑式的人类基因组计划比原设想提前了好几年完成，生命科学由此面目一新。

计算模拟大大减少实验测试的次数，使大型客机的设计开发过程从以前的十年左右缩短为波音777的三年半，既降低了成本，又抢占了市场先机。

互联网公司谷歌崛起时的看家本领就是网页搜索排序的数学方法。

谈起数学的应用价值，姜先生觉得想讲的东西太多了。

“因而，在发达国家，数学是个大众话题。科学技术以及社会生活的各个方面和数学的联系非常密切，数学能够真正帮助科学研究和技术创新。”姜伯驹说。

改革开放之后，中国经济的发展非常快，本来数学应该大有用武之地，但中国数学在各行业的应用状况很尴尬。工程界、科学界人士对数学的了解不够，想不到也不会求助于数学。能够跨行发展的数学系毕业生也非常少。姜伯驹说，这说明高等学校的数学教育已跟不上时代的需求。

到了上世纪90年代，这个问题更加突出。当时任教北大的姜伯驹已经关注数学与社会的关系多年，他认为，数学专业教育必须改革。在赴欧美等国访问、讲学的过程中，他注意了解各国数学专业的学科现状及发展趋势。他还在多个场合呼吁，“数学专业的办学目标不应仅是培养数学家”，并公开发表文章，阐述大学数学教育要面向新世纪。

1995年至2000年，姜伯驹担任教育部数学类专业教学指导委员会主任职务，开始与一些专家讨论并实施数学院系的重大改革，关于加强基础、分流培养、缩减专门课程、促进数学学科与相关学科融合的设想引起了热烈的讨论。姜伯驹联合14所院校组成的“面向21世纪数学类专业教学内容与课程体系改革”课题组，倡导对教学进行大幅调整。

其间，姜伯驹把自己对数学教育的理念首先贯彻于北大数学学科的建设，将数学系和概率统计系整合起来，新设立科学与工程计算系、信息科学系，组成了北大数学科学学院，并出任院长。1997年亚洲金融危机前夕，姜伯驹还在北大建立了全国第一个金融数学系。

整合后的数学学科，招生情况迅速好转，在北大一直名列前茅。毕业生深造和就业的情况也很好。经过全院教师多年的努力，北大数学科学学院的《数学基础研究与人才培养基地建设项目》2001年获得国家级教学成果奖的特等奖。

半个多世纪以来，随着计算技术的发展，数学对科技发展贡献显著。“计算机普遍应用后，数学长上了翅膀。通过计算机的计算，数学原理能很快落实到高科技和生产领域，数学成为生产力的尖刀。”“我国产业发展要转型，走自我创新的道路，一定会更需要数学。”姜伯驹说。

让数学之美走近大众

“世事纷繁，往往公说公有理，婆说婆有理。只有在数学面前，孩子可以自信地说，我是对的，是你错了。”在姜伯驹看来，数学在一个单纯的境域中考虑事情，是孩子独立思考与判断是非的开始。

“最简单的东西，往往也是最本质的、最基本的，通过对简单真理的把握，建立思维体系，推演出的结论却可能是惊人的。这是数学思维，是科学精神，是坚持真理的品质，是创新能力的根基。”因而，姜伯驹坚定地认为，数学教育关乎一个民族的素养。

所以，虽然身在高校，姜伯驹却很关心数学基础教育。每有机会，他都会向中小学教师、家长、学生了解对数学教育的看法。他认为，在某种程度上，中小学数学教育比大学的数学教育还重要。“中国中小学生近两亿，数学基础教育关乎中华民族的未来。”姜伯驹说。

然而，现实中的数学基础教育与姜伯驹心中的理想状态相差尚远。

2005年，年近古稀的姜伯驹牵头起草两会提案，联合90多位专家签名，针对2001年制定实施的九年义务教育数学“新课标”，公开提出批评。他指出，这个“新课标”改革的方向有重大偏差，课程体系设置缺乏连贯性、系统性，很难培养学生分析问题与逻辑推理等方面的能力，不利于学生理性思维、科学精神的形成，也使很多基层教师尤其是农村教师无所适从。学生学业负担过重的状况也难以得到改善。

这份提案为姜伯驹招致很多反对与质疑之声，但回忆起当初的举动，他觉得，如果时光倒转，他还是会提，这个问题是一定要说的。“别人采纳不采纳不是我能决定的，但是我坚持提供一种不同的声音，这是负责任的态度。”

谈及当今的教育生态，姜伯驹回忆起上世纪60年代。“那个时候，华罗庚先生在北京市主要抓两件事，一是数学竞赛，一是数学讲座。向青少年展示数学的魅力，吸引有兴趣的学生，双管齐下。然而如今，华罗庚先生当年抓的这两件事，一件火热，一件冷清。”

姜伯驹对此感到深深惋惜，不仅因为当今数学竞赛的功利味道，还因为他对科普有着独特的感情。

“一个邮递员每次送信，要走遍他负责投递的街道，完成任务后回到邮局。问他按怎样的路线走，路程最短？”这是姜伯驹上世纪60年代给中学生演讲后写成的小书《一笔画和邮递路线问题》中的题目，“其实这个灵感来自上世纪50年代数学家解决实际问题的真实故事，那个时候大家对数学科普很重视。”姜伯驹说。

“印加帝国曾有过灿烂的古代文明，但是始终没有文字，博物馆里保存着印加人用来进行统计和记事的、系着各种结的彩色绳子，却没有人说得清这种结代表的意思，印加帝国的历史也就成了一连串的谜……打结有着大学问，在什么场合下该用什么样的结？怎样打结？结与结又有着什么样的不同？拓扑学可以告诉你。”这是在上世纪80年代，已经被评为院士的姜伯驹写的科普著作《绳圈的数学》。

“数学教会你通过寻找事物的本质，解决创新难题！”

“数学让你敢于挑战权威，养成质疑的精神！”

“数学让你感受逻辑的力量，获取追求真理的勇气！”

“所以，数学应该走进每个人的生活。”

正是带着这样的愿望，这位已入古稀之年的拓扑学大师，还是会出现在面向公众的科普讲台上，还是会出现在电视中，从“什么是几何”开始讲起，向人们展示美妙的数学王国……

（本版图片由受访者提供）

【记者手记】

本真的力量

一杯龙井淡茶，一个安静的角落，先生说，我的人生很平淡，没有什么故事，恐怕会令你失望。

果然，先生不会讲故事，对于过去岁月的种种细节，先生能回忆起来的不多，只有谈到数学本身的问题时，他才会来点情绪。然而，我绝没有失望，因为在先生面露微笑的平淡讲述中，我体味到了本真的力量。

“一个方形，哪怕我给他揉了，挤了，还是会有完全不动的点，这往往就是一个方程的解。”先生试图通俗地解释他的不动点研究。在他进行了一生的拓扑学研究中，他都在寻找一种永恒的、本真的存在，他说，这是数学的追求。而我感到，这也是先生的追求。

先生毫不讳言数学世界的孤独与寂寞，无法预知成功是数学研究领域的残酷规律，那些急于取得成功的人，绝对无法安身数学领域。于是，先生本真地抛弃功利的追求，持不急不躁的研究态度，让他登上了学术高峰。

先生最享受做教师的幸福，在他的办公室，一块大黑板是与学生们探讨问题的舞台。当很多师者在世俗中迷失时，他坚守理想站立最前沿的讲台50载。以本真之心育人、育心，他的师者情怀直指教育事业的灵魂。

哪怕对数学的理解，他也是那么本真与纯粹。数学研究不是为了名利，甚至不是为了成就感，而是为了满足好奇心。当他在数学世界里触碰到纷繁与混沌中的“确定性”，他感受到了数学中简单与纯粹的巨大力量。于是，他希望这份数学中最珍贵、最本真的气质，赋予所有人以简驭繁的理性力量。他把自己的后半生，交给了这种愿望。

也许是因为他的本真性格让他安心于拓扑学研究，也许因为与数学相伴一生使他的一举一动也散发出本真的气息。

他没什么业余爱好，喜欢喝的茶只有龙井一种；他多年坚持骑自行车上班，直到70岁那年骑车被撞而骨折，妻子不让他再骑了，他才改为走路去学校；他不喜欢谈论与自己有关的事情，哪怕谈起当年轰动一时的批评“新课标”事件，他仿佛也在说别人的事；他喜欢穿浅色衣服，出现在学生面前时永远朴素而整洁，手腕上常年戴着一款老旧的电子表……

采访结束，望着先生与妻子携手离开的背影，我似乎感到不用再面对记者的先生松了一口气，怡然走回他最本真的世界。那一刻，他身边的一切纷杂与喧嚣失色，仿佛世界中只有他那简洁的身影、那雪白的银发。（俞水）

全国教书育人楷模特别报道